你猜“熵”到底有多迷人？

相信“熵”大家都不陌生吧～

“熵”其实就是描述系统混乱程度的量度。

对黑洞感兴趣的小伙伴有没有想过一个问题，就是黑洞的熵值会和什么有所联系？

以色列理论物理学家雅各布·贝肯斯坦在1972年提出了一个观点，他说黑洞具有熵而且熵值和其视界面积成正比。有小伙伴可能会疑惑视界是什么，简单来说，黑洞视界就是黑洞的“边界”。任何物体（包括光）越过这个边界，就永远无法再逃出黑洞。我们可以把它想象成一个有去无回的单向门。

我们今天就要来尝试推导一下贝肯斯坦提出的这个观点：

首先，我们先从黑洞视界表面积开始推起。我们假设黑洞是一个完美的球体，则黑洞视界表面积为：

A=4\pi R^2

其中，R为史瓦西黑洞半径。

我们进一步假设该黑洞既不带电荷又不带自转，称作史瓦西黑洞。

该黑洞半径为：

R=\frac{2GM}{c^2}

其中：

（该公式是由德国物理学家、天文学家卡尔·史瓦西于1916年根据广义相对论提出。当然我们也可以用能量转换的思想来推导验证，有兴趣的话我后面也可以专门出一期如何用能量转换思想推导史瓦西半径公式的帖子）

代入黑洞视表面积公式中，可得：

A=16\pi \frac{G^2M^2}{c^4}

对表面积A关于黑洞质量M求导，得出：

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}M}=32\pi \frac{G^2M}{c^4}

整理得：

\mathrm{d}A= 32\pi \frac{G^2M}{c^4}\mathrm{d}M

我们知道，当任何物体被吸入黑洞事件视界内，该物质的质量随着时间的流逝会全部转换为该黑洞的能量，所以我们利用爱因斯坦质能方程，即E=Mc^2，对能量E关于质量M进行求导，可得：

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}M}=c^2 \ \ \Rightarrow \ \ {\mathrm{d}M}=\frac{\mathrm{d}E}{c^2}

把该式代入到\mathrm dA与\mathrm d M的关系式中，可得：

\mathrm dA= \frac{32\pi G^2M}{c^6} \mathrm dE

我们需要想办法要把上述关系式和熵联系到一起，这里可以根据普通热力学第一定律：

\mathrm dE=T\mathrm dS+\Omega \mathrm dJ+V\mathrm dQ

其中：

我们在之前就假设了该黑洞是史瓦西黑洞，也就是既不带电又没有自转的黑洞，所以我们可以直接把该公式简化为\mathrm dE=T\mathrm dS；

将该式代入到前式，可得：

\mathrm dA= \frac{32\pi G^2MT}{c^6} \mathrm dS

这里的T代表的是黑洞温度，所以代入黑洞温度公式，也就是霍金温度公式：

T=\frac{\hbar c^3}{8\pi kGM}

其中\hbar为约化普朗克常数，k为‌玻尔兹曼常数

可得：

\mathrm dA=\frac{4G\hbar}{c^3k}\mathrm dS \ \ \Rightarrow \ \ \mathrm dS=\frac{c^3k}{4G\hbar}\mathrm dA

积分，可得：

S=\int\frac{c^3k}{4G\hbar}\mathrm dA = \frac{c^3kA}{4G\hbar}+C

我们可以代入特殊值，当黑洞视界表面积为0，那么该黑洞的熵值就为0，所以该式中常数C的值就是0，所以最终我们可以得出一个结论：

S= \frac{c^3kA}{4G\hbar}

验证了贝肯斯坦的结论——黑洞熵与黑洞视界表面积成正比关系。

蔡源培

2025.09.19

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