从恒星生命周期到宇宙第一第二第三速度

Eric Zhao

我们初中时学过宇宙八大行星，它们分别是：水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星。它们的轨道都绕着一个恒星旋转，这个恒星就是太阳。

到了高中，我们学过万有引力，以及重力场和重力势能，让我们回顾一下：

F=G\frac{Mm}{r^2}
g=G\frac{M}{r^2}
v=-G\frac{M}{r}
E=G\frac{Mm}{r}

其中：

  • F 是引力

  • g 是重力场强

  • G 是万有引力常数，其标准量是6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg²

那有聪明的同学要问了：主播主播，我们地球绕着太阳转是因为太阳对地球的引力，那这个力永远存在吗？这时我们需要考虑太阳的寿命了。在此之前，我们来了解恒星的生命周期！

上图是low-mass恒星和high-mass恒星的生命周期。

低质量恒星生命周期：

  • 一颗恒星的诞生由星云压力坍塌产生，始于分子云（主要成分是氢和氦），在引力作用下，云团中的致密区域开始坍缩、升温。

  • 当核心温度达到约1000万°C时，氢聚变发生（氢原子核聚变成氨原子核），向外的辐射压与向内的引力平衡，恒星进入稳定阶段，即主序星阶段。

低质量的主序星通过更高效的pp链聚变：

\Large{\mathrm {4p\longrightarrow \ _{2}^{4}He+2e^+ +2\nu }}

其本质是4个氢原子核（质子）通过多步反应聚变成一个氦原子核，两个正电子，同时释放出大量能量。由于质子带正电存在引力斥力，产生核聚变时需要高温（ \ge 10\ \mathrm MK ），高压（ \ge 2\times10^7\mathrm {atm}）

  • 核心持续进行氢聚变，释放的能量以光和热的形式向外辐射，支撑恒星形态稳定。

  • 红巨星阶段：核心氢耗尽后，引力占优导致核心收缩、升温，恒星体积变大、表面温度降低，颜色变红，成为红巨星。

\large{3\ _{2}^{4} \mathrm{He}\longrightarrow \ _{6}^{12}\mathrm{C}\ +\gamma }

核心不断收缩和加热，直到氦原子开始核反应，温度超过 10^8 \mathrm K 时，3个氦原子合成一个碳，同时释放\gamma光子。

当压力上升，温度继续上升时，超过 \mathrm{2\times10^8K}时，碳原子开始发生核反应。以下是两种反应过程：

\large{\mathrm{_{6}^{12} C\ +\ _{2}^{4}He\longrightarrow \ _{8}^{16} O+\ \gamma }}

  • 星云阶段：红巨星核心继续收缩，温度继续升高，直到辐射压超过引力最终外层气体被抛射出去，形成围绕核心的、美丽的环状气云，即行星状星云。

  • 白矮星阶段：在这些过程中，恒星消耗大量能量，通过公式 \mathrm E=mc^2 可知其密度变高。残留的核心由于质量减少没有足够的能量继续核聚变，失去能量，最后慢慢变暗，温度变高，最终成为白矮星。

高质量恒星生命周期：

  • 与低质量恒星类似，从分子云引力坍缩开始，但因质量更大，坍缩速度更快、核心升温更剧烈，迅速形成主序星。

对于那些质量远超太阳质量的恒星来说，表面温度极高（呈现蓝色），引力比低质量主序星更大，因此主序期更短。

在核心氢耗尽之后，引力 \gg 辐射压，体积剧烈收缩，使核心温度剧升，依次触发氦，碳，氧，氖，镁，硅等重元素的聚变。

氧和氦核聚变产生氖以及大量\gamma 光子能量

\large{\mathrm{_{8}^{16} O\ +\ _{2}^{4}He\longrightarrow \ _{10}^{20} Ne+\ \gamma }}

随后：

\large{\mathrm{_{10}^{20} Ne\ +\ _{2}^{4}He\longrightarrow \ _{12}^{24} Mg+\ \gamma }}

\large{\mathrm{_{12}^{24} Mg\ +\ _{2}^{4}He\longrightarrow \ _{14}^{28} Si+\ \gamma }}

最后一步：

\large{\mathrm{_{14}^{28} Mg\ +\ 12\ _{2}^{4}He\longrightarrow \ _{26}^{56} Fe }}

直到聚变核心成为铁，铁聚变是无法释放能量。

辐射压无法支撑，引力瞬间坍塌，随后形成宇宙中最剧烈的爆炸—超新星爆炸，于是形成超新星。

  • 超新星阶段：

爆炸时瞬间亮度能照亮整个星系。

核心质量大小区分：

  • 若核心质量小于3倍太阳质量，电子简并压无法对抗引力，电子被压入质子形成中子，最终形成中子星。

  • 若核心质量大于3倍太阳质量，物质会无限坍缩，形成一个引力极强的黑洞，光都无法逃脱。

太阳正在壮年期main sequence，其质量约为 2\times 10^{30}千克。在星云形成后，由于引力坍塌，尘埃由于引力作用形成太阳，其重力场由于角动量守恒形成八大行星的轨道，每个行星都收到太阳的引力，人类受到地球的引力。那又有聪明的伙伴要问了：人类有没有能力克服地球的引力，甚至是太阳的引力呢？有的兄弟有的！这就是著名的宇宙第一第二第三速度！以下是各个速度的推导过程：

宇宙第一速度：

定义：物体在地面附近绕地球作匀速圆周运动所需的最小速度

推导：

我们知道引力公式为

F=G\frac{Mm}{r^2}

M 为地球质量, m 为做匀速圆周运动物体的质量

物体作匀速圆周运动时速度所需的向心力为

F=m\frac{v^2}{r}

其中 r 为物体到地心的距离。当物体在地球表面时， r就是地球半径。

当物体做匀速圆周运动时，其引力就充当向心力（其实可以理解为引力与离心力等大反向，离心力和向心力大小相同方向相反）

于是联立可得：

m\frac{v^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}

化简后能得到：

v=\sqrt{\frac{GM}{r} }

这就是宇宙第一速度的表达式，带入常数：

G=6.674×10⁻¹¹ N·m²/kg²

M= 6\times10^{24} kg

r = 6.4\times10^{3} km

便可得到：

\large{V_{1}=7.9\times10^{3}\ m/s}

宇宙第二速度：

定义：人造天体无动力脱离地球引力束缚所需的最小速度

推导：

在文章开头我们知道了引力势为：

{v=-G\frac{M}{r}}

引力势能和引力势关系为：

\Delta E=m\Delta v=-G\frac{Mm}{r}

公式中负号表示的是引力势能的方向。当物体离地球无限远时，其引力势能为0

当物体脱离地球引力时，动能与引力势能大小相等，于是有：

{\frac{1}{2} mv^2=\frac{GMm}{r} }

化简后能得到：

v=\sqrt{\frac{2GM}{r} }

带入数值可得：

\large{V_{2} =11.2km/s}

宇宙第二速度是宇宙第一速度的 \sqrt{2} 倍

宇宙第三速度：

定义：在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度

推导：

当我们要算脱离太阳引力束缚的速度时，我们先考虑克服地球引力的速度。

当物体克服地球引力时，一部分动能转化为重力势能。

假设物体克服地球引力时的速度为 u,随后变成 v

公式1：

G\frac{M_{e}m }{r} =\frac{1}{2} mu^{2} -\frac{1}{2}mv^{2}

公式中的 r是指地球半径， m为物体质量

物体从地球表面发射时，同时考虑地球公转速度会带动物体的发射动能

假设 V_{e} 为地球公转速度,那么满足

m_{Earth} \frac{V_{e} ^{2} }{R}=G\frac{M_{Sun}m_{Earth} }{R^{2} }

化简后可得：

V_{e} =\sqrt{\frac{GM_{Sun} }{R} }

公式中的 R是指地球到太阳的距离

于是代入常数：

R=1.496\times 10^{11}\ m

M_{Sun} =2\times 10^{30} \ kg

得到：

\large{V_{e} =2.98\times 10^{4} \ m/s}

当物体要脱离太阳引力时，脱离地球引力后的动能也需要克服太阳引力势能

\frac{GM_{Sun}m }{R} =\frac{1}{2} m\left ( v+V_{e} \right ) ^{2}

代入算出的 V_{e}和常数就能得到：

v=1.24\times10^4\ m/s

最后带入公式1计算就能得出宇宙第三速度：

\large{u=16.7\ km/s}

总结：

恒星生命周期揭示了宇宙物质起源以及温度变化中的元素合成规律，解释天体演化和宇宙结构形成，为太阳系未来提供预测模型。

宇宙第一第二第三速度有助于航天器的轨道设计以及发射控制。能够验证万有引力定律与机械能守恒，同时为未来研究更高阶宇宙速度和宇宙结构提供了理论框架。

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